A generalized integrability problem for G-Structures

Given an $\widetilde n$-dimensional manifold $\widetilde M$ equipped with a $\widetilde G$-structure $\widetilde\pi:\widetilde P\rightarrow \widetilde M$, there is a naturally induced $G$-structure $\pi: P\rightarrow M$ on any submanifold $M\subset\widetilde M$ that satisfies appropriate regularity conditions. We study generalized integrability problems for a given $G$-structure $\pi: P\rightarrow M$, namely the questions of whether it is locally equivalent to induced $G$-structures on regular submanifolds of homogeneous $\widetilde G$-structures $\widetilde\pi:\widetilde P\to \widetilde{H}/\widetilde{K}$. If $\widetilde\pi:\widetilde P\to \widetilde{H}/\widetilde{K}$ is flat $k$-reductive we introduce a sequence of generalized curvatures taking values in appropriate cohomology groups and prove that the vanishing of these curvatures are necessary and sufficient conditions for the solution of the corresponding generalized integrability problems.Comment: 30 pages, v2: improved presentation and results v3: improved presentation, final version to appear in Ann. Mat. Pura App

Almost CR quaternionic manifolds and their immersibility in HP^n

We apply the general theory of codimension one integrability conditions for $G$-structures developed in arXiv:1306.6817v3 [math.DG] to the case of quaternionic CR geometry. We obtain necessary and sufficient conditions for an almost CR quaternionic manifold to admit local immersions as an hypersurface of the quaternionic projective space. We construct a deformation of the standard quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group which does not admit local immersions in any quaternionic manifold.Comment: 24 pages, v3: improved presentation v4: final version to appear in Abh. Math. Semin. Univ. Hamb

Classification of maximal transitive prolongations of super-Poincar\'e algebras

Let $V$ be a complex vector space with a non-degenerate symmetric bilinear form and $\mathbb S$ an irreducible module over the Clifford algebra $Cl(V)$ determined by this form. A supertranslation algebra is a $\mathbb Z$-graded Lie superalgebra $\mathfrak m=\mathfrak{m}_{-2}\oplus\mathfrak{m}_{-1}$, where $\mathfrak{m}_{-2}=V$ and $\mathfrak{m}_{-1}=\mathbb S\oplus\cdots\oplus\mathbb{S}$ is the direct sum of an arbitrary number $N\geq 1$ of copies of $\mathbb S$, whose bracket $[\cdot,\cdot]|_{\mathfrak{m}_{-1}\otimes \mathfrak{m}_{-1}}:\mathfrak{m}_{-1}\otimes\mathfrak{m}_{-1}\rightarrow\mathfrak{m}_{-2}$ is symmetric, $\mathfrak{so}(V)$-equivariant and non-degenerate (that is the condition "$s\in\mathfrak{m}_{-1}, [s,\mathfrak{m}_{-1}]=0$" implies $s=0$). We consider the maximal transitive prolongations in the sense of Tanaka of supertranslation algebras. We prove that they are finite-dimensional for $\dim V\geq3$ and classify them in terms of super-Poincar\'e algebras and appropriate $\mathbb Z$-gradings of simple Lie superalgebras.Comment: 32 pages, v2: general presentation improved, corrected several typos. Proofs and results unchanged. Final version to appear in Adv. Mat

Classification of simple linearly compact Kantor triple systems over the complex numbers

Simple finite dimensional Kantor triple systems over the complex numbers are classified in terms of Satake diagrams. We prove that every simple and linearly compact Kantor triple system has finite dimension and give an explicit presentation of all the classical and exceptional systems.Comment: 46 pages, 3 tables; v2: Major revision of the introduction; v3: Final version to appear in Journal of Algebr

Factors impacting multi-layer plume distribution in CO2 storage reservoirs

Tese de mestrado, Geologia (Estratigrafia, Sedimentologia e Paleontologia) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2019The Sleipner Carbon Capture and Storage project in the North Sea has been injecting CO2 underground into a saline formation for permanent storage for over 22 years. Equinor Energy AS, the field operator, and the license partners have injected about 18 million metric tons (Mt) of CO2 by the end of 2018 into the Utsira Formation at depths around 800 to 1100 m below sea level. The Sleipner CO2 storage reservoir comprises mostly unconsolidated sands with high porosities (36%) and high permeabilities (Darcy range) under near hydrostatic pressure conditions. An intensive geophysical monitoring program has been implemented since CO2 injection commenced in 1996. Nine bright reflections were already identified in the first time-lapse repeat survey in 1999 indicating that the CO2 ascended more than 200m vertically from the injection point to the caprock. The CO2 plume is evidently layered and asymmetric with a vertical stack distribution indicating that it encountered and breached a series of thin shale barriers (about 1m thick) within the storage site. The thin shale layers within the Utsira Formation acting as baffles to the CO2 migration were identified on well data but too thin to be resolved on seismic. Core and cutting samples of the caprock above the storage reservoir have indicated threshold pressures around 1.7 MPa. In order for the CO2 to break through the shale layers within the reservoir and form a vertical stack of thin plume layers, their threshold pressures need to be significantly smaller than the sampled caprock. Despite the high quality time-lapse seismic surveys imaging of the areal distribution of the CO2 plume in Sleipner, to date no published dynamic model has accurately replicated the layered morphology or flow behaviour of the plume. This is due to challenges around the underlying flow physics of CO2 and uncertainties in geological assumptions. Equinor has previously released benchmark reservoir models of Sleipner focusing on the uppermost plume layer (Singh et al., 2010). This master’s thesis objective was to define the full Sleipner multi-layer reservoir model in order to analyse the key factors controlling gravity-dominated flow in CO2 storage reservoirs, based on assumptions from Cavanagh et al. (2015). Fundamental aspects of the plume remain uncertain such as layer thickness, plume temperature profile (which impacts CO2 densities) and gas saturations for the plume layers. These uncertainties are inherited from the remote geophysical monitoring of the CO2 storage reservoir and the broadly constrained fields of pressure, temperature and saturation (Cavanagh and Haszeldine, 2014). Two main reservoir models were built in the Permedia software for the Sleipner CO2 storage in this study, a simple and a map-based approaches. The simple approach defined constant values for the reservoir properties and the map-based assigned lateral distributions to the reservoir properties corresponding to the areal distribution of the CO2 layers observed in seismic. Invasion percolation was applied to simulate the CO2 migration which assumes a flow domain dominated by gravity and capillary forces over viscous forces, similar to the expected in Sleipner. Using iterative experimentation in an Invasion Percolation (Permedia tool) simulator, values of shale threshold pressure (Pth) were modified until a satisfactory match was achieved. It was established that the multi-layer plume was very sensitive to the choice of Pth and the best match was obtained by using lower threshold pressures which could indicate pore sizes associated with silt-rich shales. A sensitivity analysis of the poorly constrained parameters, temperature (and related CO2 densities) and gas saturations, was performed to assess their impact on the CO2 migration simulation. Other models are also possible, such as incorporation of chimneys (leakage points), which need to be investigated in future studies.A captura e armazenamento geológico de dióxido de carbono é considerada uma solução essencial para atingir os objetivos do Acordo de Paris sobre as alterações climáticas, visando manter o aumento da temperatura média mundial bem abaixo dos 2℃ em relação aos níveis pré-industriais. De acordo com a International Energy Agency (IEA), a captura e armazenamento de carbono – CCS (sigla em inglês para Carbon Capture and Storage) é a única tecnologia com capacidade para reduzir as emissões de CO2 em larga escala, necessária para alcançar os objetivos de longo prazo na mitigação do aquecimento global. O CCS consiste na captura de CO2 de grandes fontes estacionárias, como centrais termo-elétricas e instalações industriais, seguida de sua compressão, transporte por gasodutos ou navios e injeção para armazenamento geológico em formações rochosas com alta porosidade. O campo de Sleipner está localizado a cerca de 250 km da costa da Noruega, na parte central do Mar do Norte. O projeto de captura e armazenamento é combinado com o desenvolvimento e produção deste campo de gás. O campo é dividido em Sleipner Oeste e Leste, sendo que a produção do Sleipner Oeste apresenta conteúdos altos de CO2 para o mercado consumidor. O CO2 é entretanto separado e injetado numa grande formação salina localizada acima do campo Sleipner Leste, a cerca de 800 metros abaixo do fundo oceânico. O CO2 tem sido injetado para armazenamento permanente por mais de 22 anos em Sleipner, sendo este o primeiro projeto de captura e armazenamento de CO2 em larga escala no mundo. A Equinor Energy AS, empresa operadora, e empresas parceiras injetaram na Formação Utsira (depósitos marinhos do Miocénico) cerca de 18 milhões de toneladas métricas (Mt) de CO2 até ao final de 2018. A sequência de lutitos (shales) do Grupo Nordland depositada acima da Formação Utsira foi comprovada como uma rocha selante efetiva para o reservatório de armazenamento de CO2 (Singh et al., 2010). O reservatório Sleipner de armazenamento de CO2 é composto principalmente por arenitos mal consolidados com excelentes propriedades - porosidades em torno de 36% e permeabilidades em torno de 1 a 5 Darcy. Este reservatório está sob condições de pressão próximas a hidrostáticas, com salinidade das águas intra-formacionais com valores similares aos da água do mar. Desde o início do projeto em 1996, um programa intensivo de monitorização geofísica foi implementado. O Sleipner foi monitorizado com levantamentos geofísicos aproximadamente a cada 2 anos, o que permitiu a delineação de uma imagem detalhada da distribuição e dinâmica da pluma de CO2. No primeiro levantamento sísmico 4D (time-lapse seismic) em 1999, apenas 3 anos após o início da injeção, foram identificados 9 refletores com fortes contrastes de impedância acústica (bright reflectors), o que indica que o CO2 ascendeu verticalmente mais de 200 metros, do ponto de injeção até a rocha selante (caprock). A distribuição vertical da pluma de CO2 é evidentemente assimétrica e em camadas, indicativa do encontro e migração através de uma série de finas barreiras de shales (com cerca de 1 metro de espessura) dentro do reservatório. Estas finas camadas de shales que agiram como barreiras semi-permeáveis (baffles) à migração de CO2 foram identificadas em dados de poço mas, com exceção da unidade Thick Shale (com cerca de 6.5 metros de espessura) que separa a Formação Utsira da unidade arenosa Sand Wedge localizada logo abaixo da rocha selante, não foi possível realizar uma correlação devido às grandes distâncias entre os poços nem identificá-los na sísmica devido à resolução. Estima-se que cada camada de CO2 apresentará espessuras entre 7 e 20 metros, com extensão lateral de 1 a 3 quilómetros (Cavanagh et al., 2015). Cada camada de CO2 apresenta um pronunciado alongamento na direção norte-sul, indicativo da forte influência da topografia da rocha selante e da unidade Thick Shale. A migração vertical do CO2 é resultante do grande contraste entre as densidades da água (presente nos poros da formação rochosa, brine) e do CO2. Quando o CO2 atinge uma barreira com rochas de baixa permeabilidade, ele acumula-se abaixo desta barreira, com o preenchimento de pequenas armadilhas ou estruturas (traps) em conformidade com sua topografia. O CO2 migra através destas barreias de baixa permeabilidade quando a pressão exercida pelo fluido de CO2 supera a pressão limite para invasão do CO2 (threshold ou displacement pressures) da rocha de baixa permeabilidade. Amostras de testemunho e cuttings da rocha selante (caprock) acima do reservatório indicaram pressões limite para invasão do CO2 de cerca de 1.7 MPa. Para o CO2 conseguir migrar através das camadas de shales do reservatório e formar uma pluma composta por um empilhamento vertical de camadas finas, as pressões limite para invasão do CO2 precisam de ser significativamente menores que o valor indicado pelas amostras da rocha selante. Apesar da alta qualidade das imagens da distribuição espacial da pluma de CO2 em Sleipner, adquiridas por levantamentos sísmicos 4D, até hoje nenhum modelo dinâmico publicado reproduziu com sucesso a morfologia em camadas ou o comportamento do fluxo da pluma de CO2. Isto é devido aos desafios relacionados com a física inerente aos fluxos de CO2 e às incertezas relacionadas com as interpretações geológicas. A Equinor publicou anteriormente modelos do reservatório Sleipner de armazenamento de CO2, para referência da comunidade científica, com foco na camada superior da pluma, uma vez que as interpretações das estruturas correspondentes ao topo do reservatório foram realizadas no levantamento sísmico 3D, com menos incertezas relacionadas com os efeitos do CO2 (Singh et al., 2010). A presente Tese de Mestrado definiu o modelo do reservatório completo com a incorporação das 9 camadas de CO2 para analisar os fatores principais que controlam o fluxo dominado por gravidade em reservatórios de armazenamento de CO2, com base em suposições de acordo com Cavanagh et al. (2015). Alguns aspectos fundamentais da pluma permanecem incertos, tais como a espessura das camadas (dependentes das pressões limite para invasão do CO2 das unidades shale), o perfil de temperatura da pluma (o qual impacta as densidades do CO2) e a saturação em gás das camadas da pluma (parâmetro difícil de distinguir acima de 30%). Estas incertezas são devidas às características intrínsecas da monitorização sísmica remota e da ampla variação possível dos parâmetros pressão, temperatura e saturação num reservatório (Cavanagh & Haszeldine, 2014). O desenvolvimento desta Tese de Mestrado incorporou a construção de dois modelos principais do reservatório de CO2 Sleipner no software Permedia, um com uma abordagem simples e o outro baseado em mapas. A abordagem simples consistiu na definição de valores constantes para as propriedades do reservatório, enquanto a abordagem por mapas definiu distribuições laterais para as propriedades das rochas do reservatório conforme a distribuição espacial das camadas de CO2 observada em sísmica com significativo alongamento norte-sul. O método de percolação por invasão (invasion percolation) foi aplicado para simular a migração de CO2, o qual assume um fluxo dominado pelas forças da gravidade e da capilaridade sobre a viscosidade, de modo similar ao processo interpretado para o reservatório Sleipner. As pressões limite para invasão do CO2 (threshold ou displacement pressures) foram estimadas por experimentação, através da sistemática redução do valor medido nas amostras da rocha selante até que a distribuição das 9 camadas de CO2 empilhadas verticalmente fosse reproduzida. As pressões limite para invasão do CO2 (threshold ou displacement pressures) efetivas para as unidades intra-shales e as correspondentes permeabilidades indicaram que seus valores reduzidos poderiam ser devidos a uma maior dimensão da generalidade das gargantas dos poros (pore throat sizes), associada à presença de shales mais ricas em silte. Uma análise de sensibilidade dos parâmetros com alta incerteza - temperatura (e consequentes densidades de CO2) e saturações do CO2 - foi realizada para avaliar os seus impactos na migração de CO2 e identificar os fatores-chave que contribuem para a distribuição da pluma de CO2 em múltiplas camadas. Estudos futuros devem investigar outros modelos possíveis, especialmente com a incorporação de áreas com alta permeabilidade interpretadas como “chaminés” (chimneys, leakage points) em sísmica

On 3-nondegenerate CR manifolds in dimension 7 (I): the transitive case

We investigate 3-nondegenerate CR structures in the lowest possible dimension 7, and one of our goals is to prove Beloshapka's conjecture on the symmetry dimension bound for hypersurfaces in $\mathbb{C}^4$. We claim that 8 is the maximal symmetry dimension of 3-nondegenerate CR structures in dimension 7, which is achieved on the homogeneous model. This part (I) is devoted to the homogeneous case: we prove that the model is locally the only homogeneous 3-nondegenerate CR structure in dimension 7.Comment: This version is updated with a reference to part II and a relation of the results. The supplementary files are not reproduced in this version, but they are equally relevant and can be accessed through v

Superizations of Cahen-Wallach symmetric spaces and spin representations of the Heisenberg algebra

Let M_0=G_0/H be a (n+1)-dimensional Cahen-Wallach Lorentzian symmetric space associated with a symmetric decomposition g_0=h+m and let S(M_0) be the spin bundle defined by the spin representation r:H->GL_R(S) of the stabilizer H. This article studies the superizations of M_0, i.e. its extensions to a homogeneous supermanifold M=G/H whose sheaf of superfunctions is isomorphic to Lambda(S^*(M_0)). Here G is a Lie supergroup which is the superization of the Lie group G_0 associated with a certain extension of the Lie algebra g_0 to a Lie superalgebra g=g_0+g_1=g_0+S, via the Kostant construction. The construction of the superization g consists of two steps: extending the spin representation r:h->gl_R(S) to a representation r:g_0->gl_R(S) and constructing appropriate r(g_0)-equivariant bilinear maps on S. Since the Heisenberg algebra heis is a codimension one ideal of the Cahen-Wallach Lie algebra g_0, first we describe spin representations of gheis and then determine their extensions to g_0. There are two large classes of spin representations of gheis and g_0: the zero charge and the non-zero charge ones. The description strongly depends on the dimension n+1 (mod 8). Some general results about superizations g=g_0+g_1 are stated and examples are constructed.Comment: 39 pages, 1 table, 2 diagram